Kazalo:

Kaj so fraktali: lepota matematike in neskončnost
Kaj so fraktali: lepota matematike in neskončnost

Video: Kaj so fraktali: lepota matematike in neskončnost

Video: Kaj so fraktali: lepota matematike in neskončnost
Video: ЧМ2022 . Как Праздновала Аргентина Чемпионат Мира по футболу 2022. Побывал дома у Месси! 2024, Marec
Anonim

Fraktali so poznani že stoletje, so bili dobro raziskani in imajo številne aplikacije v življenju. Vendar ta pojav temelji na zelo preprosti ideji: množico oblik, neskončne lepote in raznolikosti, je mogoče pridobiti iz relativno preprostih struktur z uporabo samo dveh operacij - kopiranja in skaliranja.

Kaj imajo skupnega drevo, morska obala, oblak ali krvne žile v naši roki? Na prvi pogled se morda zdi, da vsi ti predmeti nimajo nič skupnega. Vendar pa je v resnici ena lastnost strukture, ki je neločljivo povezana z vsemi naštetimi predmeti: so si sami podobni. Od veje, pa tudi od debla drevesa, so manjše veje, od njih - še manjše itd., To je, da je veja kot celotno drevo.

Obtočni sistem je urejen na podoben način: arteriole odhajajo od arterij in od njih - najmanjše kapilare, skozi katere kisik vstopa v organe in tkiva. Poglejmo si satelitske posnetke morske obale: videli bomo zalive in polotoke; poglejmo si ga, a iz ptičje perspektive: videli bomo zalive in rtove; Zdaj pa si predstavljajmo, da stojimo na plaži in gledamo pod noge: vedno so kamenčki, ki štrlijo v vodo dlje od ostalih.

To pomeni, da obala ostane podobna sebi, ko jo povečamo. Ameriški (čeprav vzgojen v Franciji) matematik Benoit Mandelbrot je to lastnost predmetov poimenoval fraktalnost, sami pa takšni predmeti - fraktali (iz latinskega fractus - zlomljen).

Fraktali
Fraktali

Kaj je fraktal?

Ta koncept nima stroge definicije. Zato beseda "fraktal" ni matematični izraz. Običajno je fraktal geometrijska figura, ki izpolnjuje eno ali več naslednjih lastnosti: • Ima kompleksno strukturo pri kateri koli povečavi (v nasprotju z na primer ravno črto, katere del je najpreprostejši geometrijski lik – a odsek črte). • Je (približno) sam sebi podoben. • Ima frakcijsko Hausdorffovo (fraktalno) dimenzijo, ki je večja od topološke. • Lahko se gradi z rekurzivnimi postopki.

Geometrija in algebra

Preučevanje fraktalov na prelomu iz 19. v 20. stoletje je bilo prej epizodno kot sistematično, saj so prejšnji matematiki preučevali predvsem "dobre" predmete, ki so bili primerni za raziskovanje s splošnimi metodami in teorijami. Leta 1872 je nemški matematik Karl Weierstrass zgradil primer neprekinjene funkcije, ki ni nikjer razločljiva. Vendar je bila njegova konstrukcija povsem abstraktna in težko zaznavna.

Zato je leta 1904 Šved Helge von Koch izumil neprekinjeno krivuljo, ki nima nikjer tangente in jo je precej enostavno narisati. Izkazalo se je, da ima lastnosti fraktala. Ena od variant te krivulje se imenuje "Kochova snežinka".

Ideje o samopodobnosti figur je prevzel Francoz Paul Pierre Levy, bodoči mentor Benoita Mandelbrota. Leta 1938 je objavil članek "Ravninske in prostorske krivulje in ploskve, sestavljene iz delov, podobnih celoti", ki opisuje še en fraktal - Lévyjevo C-krivuljo. Vse te zgornje fraktale lahko pogojno pripišemo enemu razredu konstruktivnih (geometričnih) fraktalov.

Vegetacija
Vegetacija

Drug razred so dinamični (algebraični) fraktali, ki vključujejo Mandelbrotov niz. Prve študije v tej smeri so se začele v začetku 20. stoletja in so povezane z imeni francoskih matematikov Gastona Julia in Pierra Fatouja. Leta 1918 so izšli Julijini skoraj dvesto strani dolgi spomini, posvečeni ponovitvam kompleksnih racionalnih funkcij, v katerih so bile opisane Julijine množice – cela družina fraktalov, tesno povezana z Mandelbrotovo množico. To delo je bilo nagrajeno z nagrado Francoske akademije, vendar ni vsebovalo niti ene ilustracije, zato je bilo nemogoče ceniti lepoto odkritih predmetov.

Kljub temu, da je to delo poveličalo Julijo med takratnimi matematiki, je bilo hitro pozabljeno. Šele pol stoletja pozneje so računalniki spet pritegnili pozornost: prav oni so naredili vidno bogastvo in lepoto sveta fraktalov.

Fraktalne dimenzije

widget-obresti
widget-obresti

Kot veste, je dimenzija (število meritev) geometrijske figure število koordinat, potrebnih za določitev položaja točke, ki leži na tej sliki.

Na primer, položaj točke na krivulji je določen z eno koordinato, na površini (ne nujno ravnini) z dvema koordinatama, v tridimenzionalnem prostoru s tremi koordinatami.

S splošnejšega matematičnega vidika lahko dimenzijo definirate na ta način: povečanje linearnih dimenzij, recimo dvakrat, za enodimenzionalne (s topološkega vidika) objekte (segment) vodi do povečanja velikosti (dolžina) dvakrat, za dvodimenzionalno (kvadrat) enako povečanje linearnih dimenzij vodi do povečanja velikosti (površine) za 4-krat, za tridimenzionalno (kocka) - za 8-krat. To pomeni, da se lahko "realna" (tako imenovana Hausdorffova) dimenzija izračuna kot razmerje med logaritmom povečanja "velikosti" predmeta in logaritmom povečanja njegove linearne velikosti. To pomeni, da je za odsek D = log (2) / log (2) = 1, za ravnino D = log (4) / log (2) = 2, za prostornino D = log (8) / log (2) = 3.

Izračunajmo zdaj dimenzijo Kochove krivulje, za sestavo katere je enotski segment razdeljen na tri enake dele, srednji interval pa zamenjamo z enakostraničnim trikotnikom brez tega segmenta. S trikratnim povečanjem linearnih dimenzij minimalnega segmenta se dolžina Kochove krivulje poveča v log (4) / log (3) ~ 1, 26. To pomeni, da je dimenzija Kochove krivulje delna!

Znanost in umetnost

Leta 1982 je izšla Mandelbrotova knjiga "Fraktalna geometrija narave", v kateri je avtor zbral in sistematiziral skoraj vse takrat dostopne informacije o fraktalih ter jih predstavil na enostaven in dostopen način. Mandelbrot v svoji predstavitvi ni dal glavnega poudarka na okornih formulah in matematičnih konstrukcijah, temveč na geometrijski intuiciji bralcev. Zahvaljujoč računalniško izdelanim ilustracijam in zgodovinskim zgodbam, s katerimi je avtor spretno razredčil znanstveno komponento monografije, je knjiga postala uspešnica, fraktali pa so postali znani širši javnosti.

Njihov uspeh med nematematiki je v veliki meri posledica dejstva, da se s pomočjo zelo preprostih konstrukcij in formul, ki jih lahko razume srednješolec, dobijo podobe neverjetne kompleksnosti in lepote. Ko so osebni računalniki postali dovolj zmogljivi, se je pojavil celo cel trend v umetnosti - fraktalno slikanje, in to je lahko naredil skoraj vsak lastnik računalnika. Zdaj na internetu lahko zlahka najdete veliko spletnih mest, posvečenih tej temi.

Kochova krivulja
Kochova krivulja

Vojna in mir

Kot je navedeno zgoraj, je eden od naravnih objektov s fraktalnimi lastnostmi obala. Z njim je povezana ena zanimiva zgodba, oziroma s poskusom merjenja njegove dolžine, ki je bila osnova Mandelbrotovega znanstvenega članka, opisana pa je tudi v njegovi knjigi "Fraktalna geometrija narave".

To je eksperiment, ki ga je pripravil Lewis Richardson, zelo nadarjen in ekscentričen matematik, fizik in meteorolog. Ena od smeri njegovega raziskovanja je bil poskus najti matematični opis vzrokov in verjetnosti oboroženega spopada med državama. Med parametri, ki jih je upošteval, je bila dolžina skupne meje obeh sprtih držav. Ko je zbiral podatke za numerične poskuse, je ugotovil, da se v različnih virih podatki o skupni meji med Španijo in Portugalsko zelo razlikujejo.

To ga je spodbudilo k odkritju naslednjega: dolžina meja države je odvisna od vladarja, s katerim jih merimo. Manjši kot je obseg, daljša je meja. To je posledica dejstva, da je z večjo povečavo mogoče upoštevati vse več obalnih ovinkov, ki so bili prej prezrti zaradi hrapavosti meritev. In če se z vsakim povečanjem obsega odprejo prej neupoštevani zavoji črt, se izkaže, da je dolžina meja neskončna! Res je, v resnici se to ne zgodi - natančnost naših meritev ima končno mejo. Ta paradoks se imenuje Richardsonov učinek.

Fraktali
Fraktali

Konstruktivni (geometrični) fraktali

Algoritem za izgradnjo konstruktivnega fraktala v splošnem primeru je naslednji. Najprej potrebujemo dve ustrezni geometrijski obliki, poimenujmo ju osnova in fragment. Na prvi stopnji je prikazana osnova prihodnjega fraktala. Nato se nekateri njegovi deli zamenjajo z fragmentom, posnetim v ustreznem merilu - to je prva ponovitev konstrukcije. Nato nastala figura spet spremeni nekatere dele v figure, podobne fragmentu, itd. Če ta postopek nadaljujemo v nedogled, potem v meji dobimo fraktal.

Oglejmo si ta postopek na primeru Kochove krivulje. Za osnovo za krivuljo Koch lahko vzamete katero koli krivuljo (za "Kochovo snežinko" je trikotnik). Vendar se bomo omejili na najpreprostejši primer - segment. Fragment je prekinjena črta, prikazana na vrhu slike. Po prvi ponovitvi algoritma bo v tem primeru začetni segment sovpadal z fragmentom, nato pa bo vsak od njegovih sestavnih segmentov zamenjan s prekinjeno črto, podobno fragmentu itd. Slika prikazuje prve štiri korake ta proces.

Fraktali
Fraktali

V jeziku matematike: dinamični (algebraični) fraktali

Fraktali te vrste nastanejo pri preučevanju nelinearnih dinamičnih sistemov (od tod tudi ime). Obnašanje takega sistema lahko opišemo s kompleksno nelinearno funkcijo (polinom) f (z). Vzemite začetno točko z0 na kompleksni ravnini (glejte stransko vrstico). Zdaj razmislite o tako neskončnem zaporedju številk na kompleksni ravnini, od katerih je vsako od naslednjega pridobljeno iz prejšnjega: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn).

Glede na začetno točko z0 se lahko takšno zaporedje obnaša različno: teži k neskončnosti kot n -> ∞; približati se neki končni točki; ciklično sprejmejo številne fiksne vrednosti; možne so tudi bolj zapletene možnosti.

Kompleksne številke

Kompleksno število je število, sestavljeno iz dveh delov - realnega in imaginarnega, to je formalne vsote x + iy (tu sta x in y realni števili). jaz sem ti. imaginarna enota, to je število, ki izpolnjuje enačbo i ^ 2 = -1. Osnovne matematične operacije so definirane nad kompleksnimi števili - seštevanje, množenje, deljenje, odštevanje (ni definirana le primerjalna operacija). Za prikaz kompleksnih števil se pogosto uporablja geometrijska predstavitev - na ravnini (imenovana je kompleksna), realni del je položen na absciso, imaginarni del pa na ordinato, kompleksno število pa bo ustrezalo točki z kartezičnim koordinatah x in y.

Tako ima vsaka točka z kompleksne ravnine svoj značaj obnašanja med iteracijami funkcije f (z), celotna ravnina pa je razdeljena na dele. V tem primeru imajo točke, ki ležijo na mejah teh delov, naslednjo lastnost: za poljubno majhen premik se narava njihovega obnašanja močno spremeni (takšne točke imenujemo točke bifurkacije). Tako se izkaže, da imajo nizi točk z eno določeno vrsto vedenja, pa tudi nizi točk bifurkacije, pogosto fraktalne lastnosti. To so Julijine množice za funkcijo f (z).

Družina zmajev

widget-obresti
widget-obresti

S spreminjanjem osnove in fragmenta lahko dobite neverjetno raznolikost konstruktivnih fraktalov.

Poleg tega je mogoče podobne operacije izvajati v tridimenzionalnem prostoru. Primeri volumetričnih fraktalov so Mengerjeva goba, piramida Sierpinskega in drugi.

Družina zmajev se imenuje tudi konstruktivni fraktali. Včasih jih po imenu odkriteljev imenujejo "zmaji z avtoceste-Harter" (po svoji obliki spominjajo na kitajske zmaje). Obstaja več načinov za izris te krivulje. Najpreprostejši in najbolj intuitivni med njimi je ta: vzeti morate dovolj dolg trak papirja (tanjši kot je papir, tem bolje) in ga prepogniti na pol. Nato ga ponovno dvakrat upognite v isto smer kot prvič.

Po več ponovitvah (ponavadi po petih ali šestih gubah postane trak predebel, da bi ga lahko lepo upognil), morate trak odviti nazaj in poskusiti oblikovati kote 90˚ na gubah. Potem se bo krivulja zmaja izkazala v profilu. Seveda bo to le približek, tako kot vsi naši poskusi upodabljanja fraktalnih predmetov. Računalnik vam omogoča, da v tem procesu upodobite še veliko korakov, rezultat pa je zelo lepa figura.

Mandelbrotov komplet je sestavljen na nekoliko drugačen način. Razmislite o funkciji fc (z) = z ^ 2 + c, kjer je c kompleksno število. Konstruirajmo zaporedje te funkcije z z0 = 0, odvisno od parametra c, lahko divergira v neskončnost ali ostane omejeno. Poleg tega vse vrednosti c, za katere je to zaporedje omejeno, tvorijo Mandelbrotov niz. Podrobno so ga preučili sam Mandelbrot in drugi matematiki, ki so odkrili številne zanimive lastnosti tega niza.

Vidi se, da sta si definiciji množic Julia in Mandelbrot podobni. Pravzaprav sta ta dva sklopa tesno povezana. Mandelbrotova množica so namreč vse vrednosti kompleksnega parametra c, za katere je povezana Julijeva množica fc (z) (množica se imenuje povezana, če je ni mogoče razdeliti na dva disjunktna dela, z nekaterimi dodatnimi pogoji).

Fraktali
Fraktali

Fraktali in življenje

Danes se teorija fraktalov pogosto uporablja na različnih področjih človeške dejavnosti. Poleg čisto znanstvenega predmeta raziskovanja in že omenjenega fraktalnega slikanja se fraktali v informacijski teoriji uporabljajo za stiskanje grafičnih podatkov (tu se v glavnem uporablja lastnost samopodobnosti fraktalov - navsezadnje zato, da si zapomnimo majhen delček risba in transformacije, s katerimi lahko dobite preostale dele, je potrebno veliko manj pomnilnika kot za shranjevanje celotne datoteke).

Z dodajanjem naključnih motenj v formule, ki definirajo fraktal, lahko dobimo stohastične fraktale, ki zelo verodostojno prenašajo nekatere resnične objekte - reliefne elemente, površino vodnih teles, nekatere rastline, kar se uspešno uporablja v fiziki, geografiji in računalniški grafiki za doseganje večjih podobnost simuliranih objektov z resničnimi. V elektroniki se proizvajajo antene, ki imajo fraktalno obliko. Zavzemajo malo prostora in zagotavljajo precej kakovosten sprejem signala.

Ekonomisti uporabljajo fraktale za opis krivulj valutnih tečajev (lastnost, ki jo je odkril Mandelbrot). S tem se zaključi ta majhen izlet v neverjetno lep in raznolik svet fraktalov.

Priporočena: