Ravna, sferična ali hiperbolična oblika našega vesolja?

2024 Avtor: Seth Attwood | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2023-12-16 16:16

Po našem mnenju je vesolje neskončno. Danes vemo, da ima Zemlja obliko krogle, vendar le redko razmišljamo o obliki Vesolja. V geometriji obstaja veliko tridimenzionalnih oblik kot alternativa "znanemu" neskončnemu prostoru. Avtorji razlagajo razliko v najbolj dostopni obliki.

Ob pogledu na nočno nebo se zdi, da se vesolje večno širi v vse smeri. Tako si predstavljamo Vesolje – ne pa dejstvo, da je res. Konec koncev je bil čas, ko so vsi mislili, da je Zemlja ravna: ukrivljenost zemeljske površine je neopazna, ideja, da je Zemlja okrogla, pa se je zdela nerazumljiva.

Danes vemo, da je Zemlja v obliki krogle. Vendar le redko razmišljamo o obliki vesolja. Ker je krogla nadomestila ravno zemljo, druge tridimenzionalne oblike ponujajo alternative »znanemu« neskončnemu prostoru.

O obliki vesolja je mogoče zastaviti dve vprašanji - ločeni, a medsebojno povezani. Ena se nanaša na geometrijo - natančen izračun kotov in površin. Druga zadeva topologijo: kako se ločeni deli združijo v eno obliko.

Kozmološki podatki kažejo, da je vidni del vesolja gladek in homogen. Lokalna struktura prostora je skoraj enaka na vsaki točki in v vseh smereh. Tem značilnostim ustrezajo le tri geometrijske oblike - ravne, sferične in hiperbolične. Oglejmo si te oblike po vrsti, nekaj topoloških premislekov in sklepov, ki temeljijo na kozmoloških podatkih.

Ravno vesolje

Pravzaprav je to šolska geometrija. Seštevek kotov trikotnika je 180 stopinj, površina kroga pa je πr2. Najenostavnejši primer ravne tridimenzionalne oblike je navaden neskončen prostor, matematiki ga imenujejo evklidski, vendar obstajajo tudi druge ploščate možnosti.

Teh oblik si ni lahko predstavljati, lahko pa svojo intuicijo povežemo tako, da razmišljamo v dveh dimenzijah namesto v treh. Poleg običajne evklidske ravnine lahko ustvarimo še druge ploščate oblike, tako da izrežemo kos ravnine in zlepimo njene robove. Recimo, da izrežemo pravokoten kos papirja in s trakom zalepimo nasprotne robove. Če zgornji rob prilepite na spodnji rob, dobite cilinder.

Desni rob lahko prilepite tudi na levi - potem dobimo krof (matematiki tej obliki pravijo torus).

Verjetno boste ugovarjali: "Nekaj ni ravno ravno." In prav boste imeli. Malo smo goljufali glede ploščatega torusa. Če boste res poskušali na ta način narediti torus iz kosa papirja, boste naleteli na nekaj težav. Valj je enostavno narediti, vendar ne bo uspelo zlepiti njegovih koncev: papir se bo zmečkal vzdolž notranjega kroga torusa, vendar ne bo dovolj za zunanji krog. Zato morate vzeti nekakšen elastičen material. Toda raztezanje spremeni dolžino in kote ter s tem celotno geometrijo.

Nemogoče je zgraditi pravi gladek fizični torus iz ravnega materiala znotraj običajnega tridimenzionalnega prostora, ne da bi popačili geometrijo. Ostaja še abstraktno ugibati o tem, kako je živeti znotraj ravnega torusa.

Predstavljajte si, da ste dvodimenzionalno bitje, katerega vesolje je ravno torus. Ker oblika tega vesolja temelji na ravnem listu papirja, ostanejo vsa geometrijska dejstva, ki smo jih vajeni, enaka – vsaj v omejenem merilu: koti trikotnika seštejejo do 180 stopinj itd. Toda s spremembo globalne topologije z obrezovanjem in lepljenjem se bo življenje dramatično spremenilo.

Za začetek ima torus ravne črte, ki se zavijejo in se vrnejo na začetno točko.

Na popačenem torusu so videti ukrivljeni, prebivalcem ravnega torusa pa se zdijo ravni. In ker svetloba potuje v ravni črti, potem, če pogledate neposredno v katero koli smer, se boste videli od zadaj.

Kot da bi na originalnem listu papirja svetloba šla skozi vas, šla na levi rob in se nato znova pojavila na desnem, kot v video igrici.

Tukaj je še en način razmišljanja o tem: vi (ali žarek svetlobe) prečkate enega od štirih robov in se znajdete v novi sobi, a v resnici gre za isto sobo, le z drugega zornega kota. Ko se sprehajate po takšnem vesolju, boste naleteli na neskončno število kopij prvotne sobe.

To pomeni, da boste vzeli neskončno število kopij sebe, kamor koli pogledate. To je neke vrste zrcalni učinek, le da te kopije niso ravno odsevi.

Na torusu vsak od njih ustreza eni ali drugi zanki, po kateri se svetloba vrača nazaj k vam.

Na enak način dobimo raven tridimenzionalni torus z lepljenjem nasprotnih ploskov kocke ali druge škatle. Tega prostora ne bomo mogli upodobiti znotraj običajnega neskončnega prostora – preprosto ne bo ustrezal – bomo pa lahko abstraktno špekulirali o življenju v njem.

Če je življenje v dvodimenzionalnem torusu kot neskončna dvodimenzionalna množica enakih pravokotnih prostorov, potem je življenje v tridimenzionalnem torusu kot neskončna tridimenzionalna množica enakih kubičnih sob. Tudi vi boste videli neskončno število lastnih izvodov.

Tridimenzionalni torus je le ena od desetih različic končnega ravnega sveta. Obstajajo tudi neskončni ravni svetovi - na primer tridimenzionalni analog neskončnega valja. Vsak od teh svetov bo imel svojo "sobino smeha" z "odsevi".

Ali je naše vesolje lahko ena od ravnih oblik?

Ko pogledamo v vesolje, ne vidimo neskončnega števila lastnih kopij. Ne glede na to, odpravljanje ravnih oblik ni enostavno. Prvič, vsi imajo enako lokalno geometrijo kot evklidski prostor, zato jih z lokalnimi meritvami ne bo mogoče razlikovati.

Recimo, da ste videli celo svojo kopijo, ta oddaljena slika samo prikazuje, kako ste (ali vaša galaksija kot celota) izgledali v daljni preteklosti, saj je svetloba prešla veliko pot, dokler ni dosegla vas. Morda celo vidimo svoje lastne kopije - a spremenjene do neprepoznavnosti. Poleg tega so različne kopije na različnih razdaljah od vas, zato niso enake. In poleg tega tako daleč, da še vedno ne bomo videli ničesar.

Da bi se izognili tem težavam, astronomi običajno ne iščejo svojih kopij, temveč ponavljajoče se značilnosti najbolj oddaljenega vidnega pojava - kozmičnega mikrovalovnega sevanja ozadja, to je relikvija Velikega poka. V praksi to pomeni iskanje parov krogov z ujemajočimi se vzorci vročih in hladnih točk – domneva se, da so enaki, le z različnih strani.

Astronomi so leta 2015 izvedli ravno takšno iskanje po zaslugi vesoljskega teleskopa Planck. Zbrali so podatke o vrstah sovpadajočih krogov, za katere pričakujemo, da jih bomo videli znotraj ravnega 3D torusa ali druge ploščate 3D oblike – tako imenovane plošče –, a niso našli ničesar. To pomeni, da če živimo v torusu, se zdi, da je tako velik, da se vsi ponavljajoči se fragmenti nahajajo zunaj opazovanega vesolja.

Sferična oblika

Zelo dobro poznamo dvodimenzionalne krogle - to je površina krogle, pomaranče ali Zemlje. Kaj pa, če je naše vesolje tridimenzionalna krogla?

Risanje tridimenzionalne krogle je težko, vendar jo je enostavno opisati s preprosto analogijo. Če je dvodimenzionalna krogla zbirka vseh točk na fiksni razdalji od neke osrednje točke v običajnem tridimenzionalnem prostoru, je tridimenzionalna krogla (ali "trisfera") zbirka vseh točk na fiksni razdalji od nekega osrednja točka v štiridimenzionalnem prostoru.

Življenje v trisferi se zelo razlikuje od življenja v ravnem prostoru. Če ga želite vizualizirati, si predstavljajte, da ste dvodimenzionalno bitje v dvodimenzionalni sferi. Dvodimenzionalna krogla je celotno Vesolje, zato ne morete videti tridimenzionalnega prostora, ki vas obdaja, in ne morete priti vanj. V tem sferičnem vesolju svetloba potuje po najkrajši poti: v velikih krogih. Toda ti krogi se ti zdijo naravnost.

Zdaj si predstavljajte, da se vi in vaš 2D prijatelj družita na severnem tečaju, on pa je šel na sprehod. Če se oddaljite, se bo sprva v vašem vizualnem krogu postopoma zmanjševalo - kot v običajnem svetu, čeprav ne tako hitro, kot smo vajeni. To je zato, ker ko raste vaš vizualni krog, ga vaš prijatelj zavzema vse manj.

Toda takoj, ko vaš prijatelj prečka ekvator, se zgodi nekaj čudnega: začne se povečevati, čeprav se v resnici še naprej odmika. To je zato, ker se odstotek, ki ga zasedajo v vašem vizualnem krogu, povečuje.

Tri metre od južnega tečaja bo vaš prijatelj videti, kot da stoji tri metre od vas.

Ko bo dosegel južni tečaj, bo popolnoma zapolnil vaše celotno vidno obzorje.

In ko na južnem tečaju ne bo nikogar, bo vaše vizualno obzorje še bolj čudno – to ste vi. To je zato, ker se bo svetloba, ki jo oddajate, razširila po krogli, dokler se ne vrne.

To neposredno vpliva na življenje na področju 3D. Vsaka točka trisfere ima nasprotje, in če je tam predmet, ga bomo videli na celotnem nebu. Če tam ni ničesar, se bomo videli v ozadju – kot da bi naš videz preložil na balon, nato pa obrnil navzven in napihnil do celotnega obzorja.

Toda čeprav je trisfera temeljni model za sferično geometrijo, še zdaleč ni edini možni prostor. Kot smo z izrezovanjem in lepljenjem kosov evklidskega prostora gradili različne ploščate modele, tako lahko z lepljenjem primernih kosov trisfere gradimo sferične. Vsaka od teh zlepljenih oblik bo tako kot torus imela učinek "soba smeha", le število prostorov v sferičnih oblikah bo končno.

Kaj pa, če je naše vesolje sferično?

Tudi najbolj narcisoidni med nami sebe ne vidimo kot ozadje namesto nočnega neba. Toda, tako kot v primeru ravnega torusa, dejstvo, da nečesa ne vidimo, sploh ne pomeni, da ne obstaja. Meje sferičnega vesolja so lahko večje od meja vidnega sveta, ozadje pa preprosto ni vidno.

Toda za razliko od torusa je sferično vesolje mogoče zaznati z lokalnimi meritvami. Sferične oblike se od neskončnega evklidskega prostora razlikujejo ne le po globalni topologiji, temveč tudi po majhni geometriji. Na primer, ker so ravne črte v sferični geometriji veliki krogi, so trikotniki tam "debelejši" od evklidskih, vsota njihovih kotov pa presega 180 stopinj.

V bistvu je merjenje kozmičnih trikotnikov glavni način za preverjanje, kako ukrivljeno je vesolje. Za vsako vročo ali hladno točko na kozmičnem mikrovalovnem ozadju sta znana njen premer in oddaljenost od Zemlje, ki tvorita tri stranice trikotnika. Izmerimo lahko kot, ki ga tvori točka na nočnem nebu - in to bo eden od vogalov trikotnika. Nato lahko preverimo, ali kombinacija dolžin stranic in vsote kotov ustreza ravninski, sferični ali hiperbolični geometriji (kjer je vsota kotov trikotnika manjša od 180 stopinj).

Večina teh izračunov, skupaj z drugimi meritvami ukrivljenosti, predvideva, da je vesolje bodisi popolnoma ravno ali zelo blizu njega. Ena raziskovalna skupina je pred kratkim predlagala, da nekateri podatki iz vesoljskega teleskopa Planck iz leta 2018 govorijo bolj v prid sferičnega vesolja, čeprav so drugi raziskovalci trdili, da bi lahko predstavljene dokaze pripisali statistični napaki.

Hiperbolična geometrija

Za razliko od krogle, ki se zapira vase, se hiperbolična geometrija ali prostor z negativno ukrivljenostjo odpira navzven. To je geometrija širokega klobuka, koralnega grebena in sedla. Osnovni model hiperbolične geometrije je neskončen prostor, tako kot ploski Evklid. Ker pa se hiperbolična oblika širi navzven veliko hitreje kot ravna, ni mogoče prilegati niti dvodimenzionalne hiperbolične ravnine znotraj običajnega evklidskega prostora, če ne želimo popačiti njene geometrije. Obstaja pa popačena slika hiperbolične ravnine, znane kot Poincaréjev disk.

Z našega vidika se zdi, da so trikotniki blizu mejnega kroga veliko manjši od tistih v bližini središča, vendar so z vidika hiperbolične geometrije vsi trikotniki enaki. Če bi poskušali upodobiti te trikotnike res enake velikosti – morda z uporabo elastičnega materiala in napihovanjem vsakega trikotnika zaporedoma, ki se premika od središča navzven – bi naš disk podoben širokemu klobuku in bi se vedno bolj upognil. In ko se približate meji, bi ta ukrivljenost ušla izpod nadzora.

V navadni evklidski geometriji je obseg kroga neposredno sorazmeren z njegovim polmerom, v hiperbolni geometriji pa krog raste eksponentno glede na polmer. V bližini meje hiperboličnega diska se oblikuje kup trikotnikov

Zaradi te lastnosti matematiki radi rečejo, da se je v hiperboličnem prostoru enostavno izgubiti. Če se vaš prijatelj oddalji od vas v običajnem evklidskem prostoru, se bo začel odmikati, vendar precej počasi, ker vaš vizualni krog ne raste tako hitro. V hiperboličnem prostoru se vaš vizualni krog eksponentno razširi, tako da se bo vaš prijatelj kmalu skrčil na neskončno majhno pikico. Torej, če niste sledili njegovi poti, ga kasneje verjetno ne boste našli.

Tudi v hiperbolni geometriji je vsota kotov trikotnika manjša od 180 stopinj – na primer vsota kotov nekaterih trikotnikov iz mozaika Poincaréjevega diska je le 165 stopinj.

Zdi se, da so njune strani posredne, a to je zato, ker gledamo na hiperbolično geometrijo skozi izkrivljajočo lečo. Za prebivalca Poincaréjevega diska so te krivulje pravzaprav ravne črte, zato je najhitrejši način priti od točke A do točke B (obe na robu) skozi rez do središča.

Obstaja naraven način za izdelavo tridimenzionalnega analoga Poincaréjevega diska - vzemite tridimenzionalno kroglo in jo napolnite s tridimenzionalnimi oblikami, ki se postopoma zmanjšujejo, ko se približujejo mejni krogli, kot trikotniki na Poincaréjevem disku. In tako kot pri ravninah in kroglah lahko ustvarimo celo vrsto drugih tridimenzionalnih hiperboličnih prostorov tako, da izrežemo ustrezne kose tridimenzionalne hiperbolične krogle in zlepimo njene ploskve.

No, ali je naše Vesolje hiperbolično?

Hiperbolična geometrija s svojimi ozkimi trikotniki in eksponentno rastočimi krogi sploh ni podobna prostoru okoli nas. Dejansko, kot smo že omenili, se večina kozmoloških meritev nagiba k ravnemu vesolju.

Ne moremo pa izključiti, da živimo v sferičnem ali hiperboličnem svetu, saj so drobci obeh svetov videti skoraj ravni. Na primer, vsota kotov majhnih trikotnikov v sferični geometriji je le malo večja od 180 stopinj, v hiperbolni geometriji pa le malo manj.

Zato so stari mislili, da je Zemlja ravna – ukrivljenost Zemlje ni vidna s prostim očesom. Večja kot je sferična ali hiperbolična oblika, bolj ploščat je vsak njen del, zato, če ima naše Vesolje izjemno veliko sferično ali hiperbolično obliko, je njegov vidni del tako blizu ravnemu, da je njegovo ukrivljenost mogoče zaznati le z ultra natančnimi instrumenti, in jih še nismo izumili….